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小 发表于 2008-10-11 14:17 只看该作者
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寻找数论朋友
朋友：你们好！
我于去年8月份用英文在美国的《自然科学研究》上发表一篇论文（题目：《在偶数性质中发现一个有趣的问题》）；这个期刊并不是国际核心刊物，只是一种普通刊物，当然我只是一个普通的中学数学老师，对数学感兴趣，由于知识水平有限，不可能写出什么惊天动地论文来，国际核心刊物也不可能录用我们这样论文，但学校比较重视将我的论文上报到教育局，因为论文中内容涉及到数论内容他们看不懂，并且又不是教学方面的。教育局的意见是：“你的论文不是一篇与教学有关的论文，是一篇自然科学论文必须送到市科协评价。”。市科协邀请市数学学会、师专、淮工等有关专家评价，他们说法不一致：师专、淮工的专家认为有研究价值应该送到省数学学会，再由他们评价，可是市数学学会不同意，这样做影响连云港市声誉。可是市科协的专家不甘心，很想知道到底有何学术价值？同时我也想通过这篇论文拿个荣誉证书，以便为我2009年晋升中教一级职称打基础。市科协的意见是：“叫我自己找大学教授给合理的评价，如果有5---10个教授都认为你发表的该篇论文有一点学术研究价值，我们可以发给荣誉证书。”。
我现在将这篇论文发给你们，恳请你们帮忙！请你们阅后能给个评价，谢谢！
敬祝：朋友身体健康，全家幸福！此致！
在偶数性质中发现一个有趣的问题
陆
毅
摘要：在数论中一个偶数表示为两个奇数之和的问题，它既是一个常见的问题、又是一个有趣的问题；而目前人们只对一个偶数表示为两个奇素数之和的问题研究的最多、也最感兴趣，可是他们忽略了一个偶数还可以表示为两个合数之和的表达形式，同时还可以表示为一个素数与一个合数之和的表达形式，… ；实际上一个偶数表示为两个奇数之和的表达式有多种形式，具体如下：①：该偶数可能表示为1与素数之和（或：该偶数也可能表示为1与合数之和）、②：该偶数还可能表示为两个奇素数之和、③：该偶数还可能表示为素数与合数之和、④：该偶数还可能表示为两个合数之和、⑤：该偶数还可能表示为合数与素数之和、⑥：该偶数还可能表示为素数与1之和（或：该偶数还可能表示为合数与1之和）、并且对于同一个偶数这些表达形式之间有着一种特殊的内在联系（注意：当偶数较小时，一个偶数表示为两个奇数之和的表达式中不一定都含有这些表达式。）；我们将对这个问题着重点探讨。
关键词：奇数表达式、素数表达式、合数表达式、表达式的个数。
正文： 对于任何一个大于4的偶数2n（n＞2、n∈N，）都可以表示为两个奇数之和，其表达式的个数是 n（注意：在n个表达式中含有很多重复的表达式）, 这在很早以前就被证明了，我们现在也不再证明。因为任何一个大于4的偶数2n表示为两个奇数之和，它的表达式不止是一个；又因为奇数还可以分为：素数（注意：在本文中研究的素数是在奇数范围中，如果没有特别说明，那么在本文中出现的素数都是指奇素数）、合数（注意：在本文中研究的合数是在奇数范围中，如果没有特别说明，那么在本文中出现的合数都是指奇合数）、1，所以在n个表达式中，每一个表达式都一定是：［①：偶数2n 可能表示为1与素数之和（或：偶数2n 也可能表示为1与合数之和）；②：偶数2n 还可能表示为两个素数之和；③：偶数2n 还可能表示为素数与合数之和；④：偶数2n 还可能表示为合数与素数之和；⑤：偶数2n还可能表示为两个合数之和；⑥：偶数2n还可能表示为素数与1之和（或：偶数2n还可能表示为合数与1之和）；］这六种中的一种表达形式。而目前人们仅仅热忠于在n个表达式中探求是否存在两个素数之和的表达形式，他们忽略了任何一个大于4的偶数2n（n＞2、n∈N，）可以表示为两个奇数之和有六种表达形式，而这六种表达式之间又有着特殊的内在联系；我们现在就专门来探讨这个被忽略的问题：
探讨这个被忽略问题的大体思路是：设：任何一个大于4的偶数为2n（n＞2、n∈N，以下相同不再重述），显然：在偶数2n前面有n个是奇数，在这些奇数中假设有p个是素数，（显然：p中不包括素数2，因为2是偶数而不是奇数。），有q个是合数，（显然：因为偶数8的前面没有合数，所以q可以等于0。）；因为1既不是素数也不是合数，于是n=p+q+1。因为任何一个大于4的偶数2n都可以用它前面的每一个奇数与它前面的一个特定的奇数之和来表示，用公式可以这样表示，即：2n=1+（2n-1）=3+（2n-3）=5+（2n-5）=7+（2n-7）=…=（2n-7）+7=（2n-5）+5 =（2n-3）+3=（2n-1）+1。
而在偶数2n前面有n个是奇数；所以偶数2n用它前面的两个奇数之和来表示的表达式个数为n（注意：在n个表达式中含有很多重复的表达式，它们只是顺序不同，在这里需要考虑顺序问题，就不能去掉，以下有类似不再重赘）。例如：
6=1+5=3+3=5+1；
8=1+7=3+5=5+3=7+1；
10=1+9=3+7=5+5=7+3=9+1；
12=1+11=3+9=5+7=7+5=9+3=11+1；
14=1+13=3+11=5+9=7+7=9+5=11+3=13+1；
16=1+15=3+13=5+11=7+9=9+7=11+5=13+3=15+1；
18=1+17=3+15=5+13=7+11=9+9=11+7=13+5=15+3=17+1；
20=1+19=3+17=5+15=7+13=9+11=11+9=13+7=15+5=17+3=19+1；
22=1+21=3+19=5+17=7+15=9+13=11+11=13+9=15+7=17+5=19+3=21+1；
24=1+23=3+21=5+19=7+17=9+15=11+13=13+11=15+9=17+7=19+5=21+3=23+1；
26=1+25=3+23=5+21=7+19=9+17=11+15=13+13=15+11=17+9=19+7=21+5=23+3=25 +1；
28=1+27=3+25=5+23=7+21=9+19=11+17=13+15=15+13=17+11=19+9=21+7=23+5=25+3=27+1
……. 。
这样通过上例可以发现2n用它前面的两个奇数之和来表示的表达式个数n中最多有这样几种表达形式：①：偶数2n可能表示为1与素数之和（例如：18=1+17，24=1+23）、（或:偶数2n也可能表示为1与合数之和，例如：22=1+21，26=1+25）、②：偶数2n还可能表示为素数与合数之和（例如：26=5+21=11+15）、③：偶数2n还可能表示为两个素数之和（例如：26=3+23=7+19 =13+13）、④：偶数2n还可能表示为两个合数之和（例如：24=9+15=15+9）、⑤：偶数2n还可能表示为合数与素数之和（例如：26=21+5=15+11）、⑥：偶数2n还可能表示为素数与1之和（例如：18=17+1，24=23+1）、（或:偶数2n还可能表示为合数与1之和，例如：22=21+1，26=25+1）。我们不仅通过上例可以得到这些结论，而且从理论方面也可以得到这些结论：因为偶数2n都可以表示为两个奇数之和，其表达式的个数是 n，即：偶数2n=奇数+奇数；又因为奇数还可以分为：素数、 合数、1，所以按照这样的排列，偶数2n=奇数+奇数也只能有这六种表达形式；当2n为小偶数时，2n表示为两个奇数之和的表达形式可能是这六种表达形式中的几种表达形式；当2n为充分大的偶数时，2n表示为两个奇数之和的表达形式中一定都含有这六种表达形式。
因为偶数2n可以用它前面的每一个奇数与它前面的一个特定的奇数之和来表示，其表达式个数为n；又因为在偶数2n前面有n个是奇数，在n个奇数中含有p个是素数；所以在n个奇数表达式（就是指偶数2n表示为两个奇数之和的表达形式称为奇数表达式。）中含有p个是素数表达式（就是指偶数2n表示为一个素数与一个特定奇数之和的表达形式称素数表达式。例如：26=3+23=5+21=7+19=11+15=13+13=17+9=19+7=23+3）；在p个素数表达式中，每一个素数表达式必定有一个素数跟一个特定奇数之和，其形式也一定是：［①：偶数2n可能表示为素数与合数之和，即：偶数2n =素数+合数；②：偶数2n还可能表示为两个素数之和，即：偶数2n=素数+素数；③：偶数2n还可能表示为素数与1之和，即：偶数2n=素数+1；］这三种中的一种表达形式。现在假设在p个素数表达式中含有L个素数表达式是两个素数之和的表达形式，还假设在p个素数表达式中含有m个素数表达式是素数与合数之和的表达形式，如果2n-1是素数，那么在p个素数表达式中一定含有：偶数2n表示为素数与1之和这个表达式，即：2n=(2n-1)+1（例如：18=1+17），因此：p=m+L+1；如果2n-1不是素数，那么在p个素数表达式中一定没有：偶数2n表示为素数与1之和这个表达式，因此：p=m+L 。
同样可以得到：在n个奇数表达式中含有q个是合数表达式（就是指偶数2n表示为一个合数与一个特定奇数之和的表达形式称为合数表达式，例如：26=9+17=15+11=21+5=25+1）；(显然：n=p+q+1，在这里n表示当偶数2n表为奇数表达式时的表达式个数；p表示当偶数2n表为素数表达式时的表达式个数；q表示当偶数2n表为合数表达式时的表达式个数。1表示当偶数2n表示为1与(2n-1)之和时的表达式个数。例如：当偶数2n=24时，偶数24表示为奇数表达式时的表达式个数是12，即：n=12，具体如下：24=1+23=3+21=5+19=7+17=9+15 =11+13=13+11= 15+9=17+7=19+5=21+3=23+1；偶数24表示为素数表达式时的表达式个数是8，即：p=8，具体如下：24=3+21=5+19=7+17=11+13=13+11=17+7=19+5=23 +1；偶数24表示为合数表达式时的表达式个数是3，即：q=3，具体如下：24=9+15=15+9=21+3；偶数24表示为1+23时的表达式个数是1。)。在q个合数表达式中，每一个合数表达式必定含有一个合数与一个特定奇数之和，其表达式的形式也一定是：［①：偶数2n可能表示为两个合数之和，即：偶数2n=合数+合数；②：偶数2n还可能表示为合数与素数之和，即：偶数2n =素数+合数；③：偶数2n还可能表示为合数与1之和，即：:偶数2n=合数+1；］这三种表达式中的一种表达形式，同样可以假设在q个合数表达式中含有t个合数表达式是两个合数之和的表达形式，显然：在q个合数表达式中也含有m个合数表达式是合数与素数之和的表达形式（因为素数+合数表示素数表达式与合数+素数表示合数表达式，只是顺序不一样，名称不一样，其实质是一样的，因此有m个是素数+合数的素数表达式，同样也就有m个是合数+素数的合数表达式；例如：12=3+9=9+3，其中3+9是表示一个素数表达式：是素数与合数之和的表达形式；9+3是表示一个合数表达式：是合数与素数之和的表达形式。）；如 果2n-1是合数，当然在q个合数表达式中一定含有：偶数2n表示为合数与1之和这个表达式，即：2n=(2n-1)+1（例如：26=25+1），因此：q=m+t+1; 如 果2n-1不是合数，当然在q个合数表达式中一定没有：偶数2n表示为合数与1之和这个表达式，因此：q=m + t 。
因为p=m+ L或p=m+L+1；q=m + t或q=m + t +1，又因为2n-1要么是一个素数，要么是一个合数，只能是其中的一种，所以：n=p+q+1=m+t+m+L+2，即：n=L+2m+t+2,它又可以变形为：L=n-2m-t-2［其中：n表示当偶数2n表为两个奇数之和时的表达式个数，L表示当偶数2n表为两个素数之和时的表达式个数，2m表示当偶数2n表为素数+合数与合数+素数时的表达式个数，t表示当偶数2n表为两个合数之和时的表达式个数，2表示两个表达式：一个表达式是偶数2n表示为1与（2n-1）之和，另一个表达式是偶数2n表示为（2n-1）与1之和。］。
我们在数学中经常碰到很多个偶数不仅可以表示为两个素数之和，而且它们表示为两个素数之和的表达式个数并不唯一。例如：10=3+7=5+5；14=3+11=7+7；16=3+13=5+11；18=5 +13=7+11；20=3+17=7+13；22=3+19= 5+17=11+11；24=5+19=7+17=11+13；26=3+23=7+19=13+13；28=5+23=11+17；30=7+23 =11+19=13+17；32=3+29=13+19；34=3+31=5+29=11+23=17+17；36=5+31=7+29=13+23 =17+19；38=7+31=19+19；40=3+37=11+29=17+23；……。这些例子在数学中是比较简单、比较常见的；一直没有引起人们的关注和思考；往往简单的问题都隐藏着绝妙的玄机。上面的那些例子暗示我们去思考：一个大于4的偶数2n表示为两个素数之和的表达式个数到底有多少，跟什么有关？象这样的偶数有多少，又有什么规律？如何去寻找？我按照这个思路去思考和验算：先从偶数6开始寻找一直到寻找偶数6002，书写了几百万个数学式子终于发现：偶数2n表示为两个素数之和的表达式个数，随着该偶数2n的增大而成波动性增加，但总的趋势是增加的。我们现在根据公式L=p-m＞0或L=p-m-1＞0再从理论上来研究一下：在n个奇数表达式中含有两个素数之和的表达式个数L 。
因为根据题意：L只能是非负整数，只要证明L＞0，就可以充分说明：每一个大于4的偶数2n都可以表示为两个奇素数之和，而L=p-m＞0或L=p-m-1＞0，利用数学归纳法即可证出，具体证明过程如下：
当p=1时
∵当偶数2n=4时，4表示为两个奇数之和的表达式有2个，即：4=1+3=3+1，4不能表示为素数+合数的表达形式；∴p=m+L+1、（p=1，即：4=3+1.）、m=0；∴L=p-m-1=1-0-1=0。L=0说明当p=1时，偶数4不能表示为两个奇素数之和，显然这个结论也符合实际。
当p=2时
∵当偶数2n=6时，6表示为两个奇数之和的表达式有3个，即：6=1+5=3+3=5+1，6不能表示为素数+合数的表达形式；∴
p=m+L+1、（p=2，即：6=3+3=5+1.）、m=0；∴
L=p-m-1
=2-0-1=1＞0。
当p=3时
∵当偶数2n=8时，8表示为两个奇数之和的表达式有4个，即：8=1+7=3+5=5+3=7+1；8不能表示为素数+合数的表达形式；∴
p=m+L+1、（p=3，即：8=3+5=5+3=7+1.）、m=0；∴
L= p-m-1=3-0-1=2＞0。
∵当偶数2n=10时，10表示为两个奇数之和的表达式有5个，即：10=1+9=3+7=5+5=7+3=9+1，10不能表示为素数+合数的表达形式；∴
p=m+L、（p=3，即：10=3+7=5+5=7+3.）、m=0；∴
L=p-m=3-0=3＞0；
当p=4时
∵当偶数2n=12时，12表示为两个奇数之和的表达式有6个，即：12=1+11=3+9=5+7=7+5=9+3=11+1，12表示为素数+合数的表达式有1个，即：12=3+9；∴p=m+L+1、（p=4，即：12=3+9=5+7=7+5=11+1.）、m=1，∴
L=p-m-1=4-1-1=2＞0。
当p=5时
∵当偶数2n=14时，14表示为两个奇数之和的表达式有7个，即：14=1+13=3+11=5+9=7+7=9+5=11+3=13+1 ；14表示为素数+合数的表达式有1个，即：14=5+9；∴
p=m+L+1、（p=5，即：14=3+11=5+9=7+7=11+3=13+1.）、m=1，∴
L= p-m-1=5-1-1=3＞0；
∵当偶数2n=16时，16表示为两个奇数之和的表达式有8个，即：16=1+15=3+13=5+11=7+9=9+7=11+5=13+3=15+1 ；16表示为素数+合数的表达式有1个，即：16=7+9；∴
p=m+L、（p=5，即：16=3+13=5+11=7+9=11+5=13+3.）、m=1；∴
L=p-m=5-1=4＞0。
当p=6时
∵当偶数2n=18时，18表示为两个奇数之和的表达式有9个，即：18=1+17=3+15=5+13=7+11=9+9=11+7=13+5=15+3=17+1 ；18表示为素数+合数的表达式有1个，即：18=3+15；∴
p=m+L+1、（p=6，即：18=3+15=5+13=7+11=11+7=13+5=17+1.）、m=1；∴
L= p-m-1=6-1-1=4＞0。
当p=7时
∵当偶数2n=20时，20表示为两个奇数之和的表达式有10个，即：20=1+19=3+17=5+15=7+13=9+11=11+9 =13+7=15+5=17+3=19+1 ；20表示为素数+合数的表达式有2个，即：20=5+15=11+9；∴
p=m+L+1、（p=7，即：20=3+17=5+15=7+13=11+9=13+7 =17+3=19+1.）、m=2；∴
L=p-m-1=7-2-1=4＞0。
∵当偶数2n=22时，22表示为两个奇数之和的表达式有11个，即：22=1+21=3+19=5+17=7+15=9+13=11+11=13+9=15+7=17+5=19+3=21+1；22表示为素数+合数的表达式有2个，即：22=7+15=13+9；∴p=m+L ,（p=7，即：22=3+19=5+17 =7+15=11+11=13+9=17+5=19+3.）、m=2，∴
L= p-m=7-2 =5＞0；
所以我们通过讨论：当p=2，3，4，5，6，7时，L=p-m＞0或L=p-m-1＞0。但同时又发现一个问题：当p=2，4，6时，每一个p值仅对应一个偶数；而当p=3，5，7时，每一个p值又对应两个偶数。这是为什么？是不是p=2，4，6时每一个p值对应的偶数也是两个或多个？只是还没有找出；而当p=3，5，7时，每一个p值对应两个偶数，而不对应3个或更多个？这又是为什么？我们现在就解决这些问题：因为p是表示在偶数2n前面的每一个素数与一个特定奇数之和的表达式个数（即：p是素数表达式的个数），也就是在偶数2n的前面有几个素数，那么素数表达式的个数p就等于几，当然p=2、只能对应一个偶数6，因为只有在偶数6的前面才有两个素数（3，5），同样p=4，6也是如此。而p=3，5，7时情况就不一样了，在偶数8与10的前面都是3个奇素数，当然也只有偶数8与10的前面是3个奇素数，再也没有别的偶数的前面是3个奇素数了，因此p=3是只能对应两个偶数8与10，同样p=5，7也是如此。通过上面的分析我们知道：一个p值对应几个偶数，取决于这些偶数前面是否有相同的奇素数个数，如果在几个偶数前面的奇素数个数相同，那么这几个偶数一定对应同一个p值，例如：在偶数24，26，28的前面都是8个奇素数，因此p=8，那么它对应三个偶数24，26，28。
现在假设：当p=k时， L=k－m＞0或L=k－m－1＞0; 则：当p=k+1时，∵p由k变为k+1，∵ p=m+ L 或p=m+L+1，∴要么 m增加1，要么L增加1，并且只能存在其中一种情况；当L增加1时，m就没有变化，显然：L=k+1－m＞0或L=k+1－m－1＞0；当m增加1时，根据假设可知：L=k+1－（m+1）=k-m＞0或L=k+1－(m+1)－1=k-m-1＞0，∴当p=k+1时，L=p－m＞0或L=p－m－1＞0
∴ 当p≥2，p∈N时, L=p－m＞0或L=p－m－1＞0,即：L=n-2m-t-2＞0。
因此，每一个大于4的偶数2n都可以表示为两个素数之和，其表达式共有L个［L=n-2m-t-2，其中：n表示当偶数2n表为两个奇数之和时的表达式个数，L表示当偶数2n表为两个素数之和时的表达式个数，2m表示当偶数2n表为素数+合数与合数+素数时的表达式个数，t表示当偶数2n表为两个合数之和时的表达式个数，2表示两个表达式：一个表达式是偶数2n表示为1与（2n-1）之和，另一个表达式是偶数2n表示为（2n-1）与1之和］。
至于：偶数表示为两个合数之和、偶数表示为合数与素数之和、等问题不是人们热忠于追求的问题，又限于篇幅问题，我们就不再多赘了。
附：陆毅（LuYi）电话：；86-0518-87565617或86-0518-87916950
电子邮箱：luyi1967314@126.com;或luyi1967314@163.com;luyi1967314@yahoo.cn
参考文献：
[1]郑克明：数论基础. 重庆：西南师范大学出版社。
[2]王元：谈谈质数. 数学通报.北京：北京师范大学出版社. 2000年7月。
[3]陈景润：陈氏定理（1+2）的证明.北京：清华大学出版社。
[4]陈景润：初等数论.北京：北京大学出版社。
完稿时间：2003年2月18日
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